Kockaéder

Az előzőben elírtam, x helyére mindenhol "fí" kell, de egyébként már megvan a válasz. Rátaláltam egy kidolgozott feladatban. A lényeg az hogy a "fi"-t is kezelhetjük ugyanolyan független változóként, mint az x-et.

A képletet én is ismerem, de ugye a logaritmikus spirál polárkoordinátás egyenlete úgy néz ki, hogy: e^x. A szektorterület polárkoordinátás képletébe ezt behelyettesítve az integrandus e^2x lesz, de itt nem tudom, hogy úgyanúgy lehet rá a beágyazott függvényes integrálás azonosságát használni vagy máshogyan kell megoldani az integrálását?
Csak a görbe alatti területet vettük, és a térfogatszámítást, de én előre már megvettem a Bolyai-könyvsorozat Integrálszámítás című darabját, és azt tanultam meg nagyjából, csak ott nem találkoztam polárkoordinátás beágyazottal.

http://hu.wikipedia.org/wiki/Riemann-integr%C3%A1l%C3%A1s#Szektorter.C3.BClet
Sok mindenre jó az internet... (Remélem ezt kérdezted.) Amúgy ti hol vesztek ilyeneket, remélem nem középiskolában.

Sziasztok!
Lenne egy olyan kérdésem, hogy a logaritmikus spirál szektorterületét szeretném meghatározni, de felmerült egy olyan probléma, hogy ugye polárkoordinátákkal adott függvény szektorterületére adott egy integrál. De az integrandusom e^(2*"fí"), és ugye ez polárkoordinátával adott és tartalmaz beágyazott függvényt. A kérdés az az hogy integrálhatom úgy mintha független változóval lenne megadva, vagy van erre is egy külön módszer (mármint polárkoordinátás beágyazottra)? És ha nem, akkor hogyan?

Szia!
Az első szinuszos sorozatomra lett volna megoldásom, ha tudok egy összegképletet kreálni a faktoriális tagokra, de kiderűlt, hogy nyomtatási hiba van a könyvben, és így ez jött ki: a_n=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4) * sin^(2n)(α/2).
Az lett volna a kérésem, hogy vki segítsen erre egy összegképletet kitalálni, de a második változatnál a szinusz miatt végképp nem lehet.
Az α és a 360 legkisebb közös többszörösét, ha beosztom 360-nal, akkor kijön a k szám, ami megmutatja ,hogy hány tagonként kell a faktoriláis részét a sorozatnak megszorozni ugyanazzal a szinusz értékkel, és így minden k-adik, k+1-edik, k+2-edik...stb számot ugyanazzal a szinusz értékkel kell megszorozni. Ebből a tetszőleges n tagra az összegképlet úgy jön ki hogy a k-adik tagok összegképleteit kell összeadni (k darab összegképletet).

Szia! Látom, nagyon izgat ez a sorozat, egy hónapja is kérdeztél róla. Sajnos most nem értem a kérdésedet, sőt... igazából azt sem értem, hogy van-e kérdésed. Nem igazán tűnik úgy első ránézésre, hogy bármelyik általad ide leírt sorozat első néhány tagjának összegére lenne szép zárt formula. (Amúgy ezt a sinusos dolgot gondold át, a (sin(nα)) sorozat általában nem lesz periodikus.)
Megjegyzés: bár ötletes a "ˇ" jelölésed az alsó indexre, inkább a "_" használatos erre a célra.:)

Már tárgytalan a feladat, mert rájöttem hogy nyomtatási hiba van a könyvben, és a képlet nem helyes.
Helyesen így néz ki: aˇn=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4) * sin^(2n)(α/2), és erre nem lehet összegképletet felírni.

Van egy sorozatom, aminek nem tudtam eddig első n tagjának összegére egy összegképletet kitalálni, de bízom benne hogy tudtok benne segíteni.

aˇn=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4)

rekurzívan is felírható: aˇn=((2n-1)/2n)^2*aˇ(n-1)

Ez gyakorlatilag az első n darab páratlan szám szorzatának, és az első n darab páros szám szorzatának a hányadosa, és ennek a négyzete.
Arra gondoltam, hogy többedrendű számtani vagy mértani sorozattal esetleg megoldható lenne, de ezeket nem tanultuk, és interneten sem találtam forrást hozzá.
Valójában a sorozat úgy néz ki hogy: aˇn=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4) * sin(n*α), de a sinusz kiküszöbölésére találtam egy megoldást, így már csak az a feladat hogy minden k-adik tagját a sorozatnak össze tudjam adni az első n-tagig. A rekurzív megoldásnál kicsitt bonyolultabban néz ki, mert a rekurzív sor n-edik tagját meg kell szorozni sin(n*α)-val, és így jön ki a tetszőleges n-edik tagja a sorozatnak, de a szinusz megoldásom miatt elég csak az első 2 képlet valamelyikének az n-tag összege minden k-adik tagra.

(k tetszőleges α-nál azt jelenti, hogy a szinusz értéke a sorozat hány tagjánként ismétlődik, képlettel (360 és α legkisebb közös többszöröse)/360=k

Akkor is írtam be. :)

A pi-pillanat ~1:59:26-kor van, rajta van a wikipedián.

Akkor megmentetted a Kockaéder becsületét! :D :P

Én voltam. :)

Kár, hogy az előző nem írt nevet. Komolyan érdekelne, hogy ki az, aki ezért fennmaradt. :D De elismerésem. Egyébként az egyik találkozón mi is úgy fejeztük be az éjszakai Big Bang Theory-nézést, és beszélgetést, hogy: "Most már menjünk lassan aludni, késő van, de azért várjuk még meg a Pi-percet!" És megvártuk. :-)

Boldog Pí-llanatot!!! :)

A visszaszámolásotok szerint márc 14, 1 óra 59 perc, 26 másodperckor lesz pi-pillanat.
Miért nem inkább 15 óra 9 perc 26 mp? (ha már 15 óra 92 perc nem lehet...)
Amúgy boldog Pi-napot, és Istvánnak boldog születésnapot:)

Hát ez igazán szép. Én már csak annyit fűznék hozzá, hogy szerintem ez a leképezés automorfizmus.

Nagyon szép, tanulságos feladat. Áruld el, hol hallottad!

I.: n>=0 -ra f(n+1)>f(f(n))

Megoldás (saját, nem feltétlenül a legegyszerűbb!):

Legyen k a legkisebb szám, amit az f függvény felvesz! Ekkor valamilyen n-re k=f(n). Ha n>0, akkor (n-1)-et helyettesítve I-be: f(n)>f(f(n-1)). Ez nyilván nem lehet, mivel az f függvény az f(n-1) helyen egy k-nál kisebb értéket is felvesz - holott k volt a legkisebb érték, amit f felvett. Éppen ezért, ha k=f(n), akkor f(f(n-1)) nem létezhet, tehát n=0, az f függvény a legkisebb értékét (k) egyetlen helyen, a 0-ban veszi fel.

Nyilván nem mindenütt ugyanazt veszi fel a függvény, hiszen n+1-re nyagyobbat, mint f(n)-re az I. alapján. Legyen m a második legkisebb érték, amit az f függvény felvesz! Ekkor valamilyen n-re f(n)=m, de akkor n>0, hiszen f(0)=k<m, így megint n-1-et helyettesítve az I-be m=f(n)>f(f(n-1)), de akkor az f(f(n-1)) helyen a függvény m-nél kisebb értéket vesz fel - ez csak k lehet, hiszen m a második legkisebb érték, f(f(n-1))=k, de már láttuk, hogy a k-t csak a 0 helyen veszi fel a függvény, így f(n-1)=0. Tehát a 0 értéket felveszi a függvény az (n-1) helyen, kisebbet nyilván nem, tehát a felvett legkisebb érték k=0, amit a függvény a 0-ban felvesz, így f(0)=0. Más helyen nem veheti fel a függvény a k=0 értéket, csak a 0-ban.

Ez még látszólag semmi, hiszen egyetlen helyen tudjuk, hogy a függvény mit vesz fel: f(0)=0. Viszont máshol nem vesz fel nullát. Ötlet: legyen g(n)=f(n+1)-1 egy másik függvény, amelyre így g(n+1)=f(n+2)-1>f(f(n+1))-1=f(f(n+1)-1+1)-1=f(g(n)+1)-1=g(g(n)). Tehát a g leképezés ugyanazt tudja, mint f: g(n+1)>g(g(n)). Így a teljes gondolatmenentet, amit eddig f-re csináltunk, újra alkalmazva g-re: g(0)=0, emiatt viszont g(0)=f(0+1)-1=0, tehát f(1)=1.

A teljes eddigi gondolatmenet nem csak f-re érvényes, hanem g-re is, hiszen ugyanazt tudja a g, mint az f, tehát ha f(1)=1, akkor g(1)=1, de akkor g(1)=f(1+1)-1=f(2)-1=1, tehát f(2)=2.

A teljes eddigi gondolatmenet megint nem csak f-re érvényes, hanem g-re is, tehát ha f(2)=2, akkor g(2)=2, de akkor g(2)=f(2+1)-1=f(3)-1=2, tehát f(3)=3.

És így tovább, egyenként kijön, hogy f(n)=n minden n-re.

(Szemléletesen a g bevezetésére annyi, hogy miután f(0)=0 és n>0-ra f(n)>0, így az f függvény a pozitív egészeket a pozitív egészekbe képzi le, ami teljesen úgy viselkedik, mint a természetes számok halmaza (amiben a 0 is benne van). Vagyis elfelejtjük a "0", és megismételjük az egészet. Így a nulla helyett az 1 az első szám, tehát f(1)=1, most elfelejtjük az 1-et, és így tovább.)

Függvényformátumban van valami adat az f(n)-ről, vagy csak ennyit tudunk?

Egy példatárban olvastam erre egy frappáns megoldást: "A bizonyítást a kedves olvasóra bízzuk." :)

Leképezésekként kell értelmezni őket (ott fordított a sorrend).
"Függvény-formátumban" a következőről van szó: f(n+1)>f(f(n)) - így értendő.

Azt értem, hogy a helyben hagyást kell bizonyítani. De az "(n + 1)f > nf(négyzet)" hogyan értelmezzem?
n*f^2(n) ?

"Legyen f : N -> N olyan leképezés, hogy tetszőleges n természetes számra(n + 1)f > nf(négyzet). Bizonyítsuk, hogy f identitás."

Minden megoldást szívesen fogadok, kellemes időtöltést mindenkinek. (Egyébként sürgős lenne.) Köszönöm.