Fórum – topik: Problémás feladatok

Korózs József
2011.01.26. 23:28
Az előzőben elírtam, x helyére mindenhol "fí" kell, de egyébként már megvan a válasz. Rátaláltam egy kidolgozott feladatban. A lényeg az hogy a "fi"-t is kezelhetjük ugyanolyan független változóként, mint az x-et.
Korózs József
2011.01.25. 21:05
A képletet én is ismerem, de ugye a logaritmikus spirál polárkoordinátás egyenlete úgy néz ki, hogy: e^x. A szektorterület polárkoordinátás képletébe ezt behelyettesítve az integrandus e^2x lesz, de itt nem tudom, hogy úgyanúgy lehet rá a beágyazott függvényes integrálás azonosságát használni vagy máshogyan kell megoldani az integrálását?
Csak a görbe alatti területet vettük, és a térfogatszámítást, de én előre már megvettem a Bolyai-könyvsorozat Integrálszámítás című darabját, és azt tanultam meg nagyjából, csak ott nem találkoztam polárkoordinátás beágyazottal.
Bodor Bertalan
2011.01.25. 13:03
http://hu.wikipedia.org/wiki/Riemann-integr%C3%A1l%C3%A1s#Szektorter.C3.BClet
Sok mindenre jó az internet... (Remélem ezt kérdezted.) Amúgy ti hol vesztek ilyeneket, remélem nem középiskolában.
Korózs József
2011.01.17. 16:15
Sziasztok!
Lenne egy olyan kérdésem, hogy a logaritmikus spirál szektorterületét szeretném meghatározni, de felmerült egy olyan probléma, hogy ugye polárkoordinátákkal adott függvény szektorterületére adott egy integrál. De az integrandusom e^(2*"fí"), és ugye ez polárkoordinátával adott és tartalmaz beágyazott függvényt. A kérdés az az hogy integrálhatom úgy mintha független változóval lenne megadva, vagy van erre is egy külön módszer (mármint polárkoordinátás beágyazottra)? És ha nem, akkor hogyan?
Korózs József
2010.12.16. 15:52
Szia!
Az első szinuszos sorozatomra lett volna megoldásom, ha tudok egy összegképletet kreálni a faktoriális tagokra, de kiderűlt, hogy nyomtatási hiba van a könyvben, és így ez jött ki: a_n=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4) * sin^(2n)(α/2).
Az lett volna a kérésem, hogy vki segítsen erre egy összegképletet kitalálni, de a második változatnál a szinusz miatt végképp nem lehet.
Az α és a 360 legkisebb közös többszörösét, ha beosztom 360-nal, akkor kijön a k szám, ami megmutatja ,hogy hány tagonként kell a faktoriláis részét a sorozatnak megszorozni ugyanazzal a szinusz értékkel, és így minden k-adik, k+1-edik, k+2-edik...stb számot ugyanazzal a szinusz értékkel kell megszorozni. Ebből a tetszőleges n tagra az összegképlet úgy jön ki hogy a k-adik tagok összegképleteit kell összeadni (k darab összegképletet).
Bodor Bertalan
2010.12.12. 23:14
Szia! Látom, nagyon izgat ez a sorozat, egy hónapja is kérdeztél róla. Sajnos most nem értem a kérdésedet, sőt... igazából azt sem értem, hogy van-e kérdésed. Nem igazán tűnik úgy első ránézésre, hogy bármelyik általad ide leírt sorozat első néhány tagjának összegére lenne szép zárt formula. (Amúgy ezt a sinusos dolgot gondold át, a (sin(nα)) sorozat általában nem lesz periodikus.)
Megjegyzés: bár ötletes a "ˇ" jelölésed az alsó indexre, inkább a "_" használatos erre a célra.:)
Korózs József
2010.12.08. 17:56
Már tárgytalan a feladat, mert rájöttem hogy nyomtatási hiba van a könyvben, és a képlet nem helyes.
Helyesen így néz ki: aˇn=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4) * sin^(2n)(α/2), és erre nem lehet összegképletet felírni.
Korózs József
2010.12.06. 21:21
Van egy sorozatom, aminek nem tudtam eddig első n tagjának összegére egy összegképletet kitalálni, de bízom benne hogy tudtok benne segíteni.

aˇn=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4)

rekurzívan is felírható: aˇn=((2n-1)/2n)^2*aˇ(n-1)

Ez gyakorlatilag az első n darab páratlan szám szorzatának, és az első n darab páros szám szorzatának a hányadosa, és ennek a négyzete.
Arra gondoltam, hogy többedrendű számtani vagy mértani sorozattal esetleg megoldható lenne, de ezeket nem tanultuk, és interneten sem találtam forrást hozzá.
Valójában a sorozat úgy néz ki hogy: aˇn=(2n)!^2/(2^(4n)*n!^4) * sin(n*α), de a sinusz kiküszöbölésére találtam egy megoldást, így már csak az a feladat hogy minden k-adik tagját a sorozatnak össze tudjam adni az első n-tagig. A rekurzív megoldásnál kicsitt bonyolultabban néz ki, mert a rekurzív sor n-edik tagját meg kell szorozni sin(n*α)-val, és így jön ki a tetszőleges n-edik tagja a sorozatnak, de a szinusz megoldásom miatt elég csak az első 2 képlet valamelyikének az n-tag összege minden k-adik tagra.

(k tetszőleges α-nál azt jelenti, hogy a szinusz értéke a sorozat hány tagjánként ismétlődik, képlettel (360 és α legkisebb közös többszöröse)/360=k
Kovács Gergő
2010.03.18. 19:56
Akkor is írtam be. :)
Bodor Bertalan
2010.03.16. 18:36
A pi-pillanat ~1:59:26-kor van, rajta van a wikipedián.
Kelecsényi Nándor
2010.03.15. 00:37
Akkor megmentetted a Kockaéder becsületét! :D :P
Kovács Gergő
2010.03.14. 23:28
Én voltam. :)
Kelecsényi Nándor
2010.03.14. 22:19
Kár, hogy az előző nem írt nevet. Komolyan érdekelne, hogy ki az, aki ezért fennmaradt. :D De elismerésem. Egyébként az egyik találkozón mi is úgy fejeztük be az éjszakai Big Bang Theory-nézést, és beszélgetést, hogy: "Most már menjünk lassan aludni, késő van, de azért várjuk még meg a Pi-percet!" És megvártuk. :-)
2010.03.14. 01:59
Boldog Pí-llanatot!!! :)
Zsuzsi
2010.03.13. 22:52
A visszaszámolásotok szerint márc 14, 1 óra 59 perc, 26 másodperckor lesz pi-pillanat.
Miért nem inkább 15 óra 9 perc 26 mp? (ha már 15 óra 92 perc nem lehet...)
Amúgy boldog Pi-napot, és Istvánnak boldog születésnapot:)
Schmercz Zoltán
2010.02.04. 18:39
Hát ez igazán szép. Én már csak annyit fűznék hozzá, hogy szerintem ez a leképezés automorfizmus.
irus
2010.02.04. 13:43
Nagyon szép, tanulságos feladat. Áruld el, hol hallottad!

I.: n>=0 -ra f(n+1)>f(f(n))

Megoldás (saját, nem feltétlenül a legegyszerűbb!):

Legyen k a legkisebb szám, amit az f függvény felvesz! Ekkor valamilyen n-re k=f(n). Ha n>0, akkor (n-1)-et helyettesítve I-be: f(n)>f(f(n-1)). Ez nyilván nem lehet, mivel az f függvény az f(n-1) helyen egy k-nál kisebb értéket is felvesz - holott k volt a legkisebb érték, amit f felvett. Éppen ezért, ha k=f(n), akkor f(f(n-1)) nem létezhet, tehát n=0, az f függvény a legkisebb értékét (k) egyetlen helyen, a 0-ban veszi fel.

Nyilván nem mindenütt ugyanazt veszi fel a függvény, hiszen n+1-re nyagyobbat, mint f(n)-re az I. alapján. Legyen m a második legkisebb érték, amit az f függvény felvesz! Ekkor valamilyen n-re f(n)=m, de akkor n>0, hiszen f(0)=k<m, így megint n-1-et helyettesítve az I-be m=f(n)>f(f(n-1)), de akkor az f(f(n-1)) helyen a függvény m-nél kisebb értéket vesz fel - ez csak k lehet, hiszen m a második legkisebb érték, f(f(n-1))=k, de már láttuk, hogy a k-t csak a 0 helyen veszi fel a függvény, így f(n-1)=0. Tehát a 0 értéket felveszi a függvény az (n-1) helyen, kisebbet nyilván nem, tehát a felvett legkisebb érték k=0, amit a függvény a 0-ban felvesz, így f(0)=0. Más helyen nem veheti fel a függvény a k=0 értéket, csak a 0-ban.

Ez még látszólag semmi, hiszen egyetlen helyen tudjuk, hogy a függvény mit vesz fel: f(0)=0. Viszont máshol nem vesz fel nullát. Ötlet: legyen g(n)=f(n+1)-1 egy másik függvény, amelyre így g(n+1)=f(n+2)-1>f(f(n+1))-1=f(f(n+1)-1+1)-1=f(g(n)+1)-1=g(g(n)). Tehát a g leképezés ugyanazt tudja, mint f: g(n+1)>g(g(n)). Így a teljes gondolatmenentet, amit eddig f-re csináltunk, újra alkalmazva g-re: g(0)=0, emiatt viszont g(0)=f(0+1)-1=0, tehát f(1)=1.

A teljes eddigi gondolatmenet nem csak f-re érvényes, hanem g-re is, hiszen ugyanazt tudja a g, mint az f, tehát ha f(1)=1, akkor g(1)=1, de akkor g(1)=f(1+1)-1=f(2)-1=1, tehát f(2)=2.

A teljes eddigi gondolatmenet megint nem csak f-re érvényes, hanem g-re is, tehát ha f(2)=2, akkor g(2)=2, de akkor g(2)=f(2+1)-1=f(3)-1=2, tehát f(3)=3.

És így tovább, egyenként kijön, hogy f(n)=n minden n-re.

(Szemléletesen a g bevezetésére annyi, hogy miután f(0)=0 és n>0-ra f(n)>0, így az f függvény a pozitív egészeket a pozitív egészekbe képzi le, ami teljesen úgy viselkedik, mint a természetes számok halmaza (amiben a 0 is benne van). Vagyis elfelejtjük a "0", és megismételjük az egészet. Így a nulla helyett az 1 az első szám, tehát f(1)=1, most elfelejtjük az 1-et, és így tovább.)
Schmercz Zoltán
2010.02.03. 23:09
Függvényformátumban van valami adat az f(n)-ről, vagy csak ennyit tudunk?

Egy példatárban olvastam erre egy frappáns megoldást: "A bizonyítást a kedves olvasóra bízzuk." :)


2010.02.03. 14:58
Leképezésekként kell értelmezni őket (ott fordított a sorrend).
"Függvény-formátumban" a következőről van szó: f(n+1)>f(f(n)) - így értendő.
Schmercz Zoltán
2010.02.03. 07:35
Azt értem, hogy a helyben hagyást kell bizonyítani. De az "(n + 1)f > nf(négyzet)" hogyan értelmezzem?
n*f^2(n) ?
2010.02.02. 20:10
"Legyen f : N -> N olyan leképezés, hogy tetszőleges n természetes számra(n + 1)f > nf(négyzet). Bizonyítsuk, hogy f identitás."

Minden megoldást szívesen fogadok, kellemes időtöltést mindenkinek. (Egyébként sürgős lenne.) Köszönöm.